При написании даты какое должно быть окончание? Например: "Пятое января" или "Пятого января"? И почему?

все зависит какой вы вопрос задаете, КАКОЕ января - ПЯТОЕ, КАКОГО января - ПЯТОГО

Как уже сказали ранее, это зависит от контекста. Но если Вы пишите в домашней работе, просто, как обозначение даты, то нужно использовать Именительный падеж. Например:
"Пятое января.
Домашняя работа.
№456" и т. д.

Зависит от ситуации. Например, "сегодня пятое января". Или "он родился пятого января".