Всероссийской интернет-олимпиады по математике для 10-х классов.

1.При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения является наименьшей?
2.Даны 2013 точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Какое наибольшее количество плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?
3.Найдите наибольший корень уравнения x3 + 3x2 – 2x – 2 = 0.
4.В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны и равны 18 см и 24 см. Найдите площадь (см2) в этого треугольника.
5.Через точку, лежащую на гипотенузе прямоугольного треугольника, провели две прямые, параллельные катетам, так, что треугольник разбился на квадрат и два прямоугольных треугольника. Площадь одного из полученных треугольников в 3 раз больше площади квадрата. Во сколько раз площадь второго треугольника меньше площади квадрата?
6.Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 91, которые после вычёркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз. В ответе укажите количество найденных чисел.
7.В прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.
8.Найдите наибольшее значение параметра, при котором неравенство не имеет корней на отрезке [-1; 2].
9.При каком целом k неравенство х2 + 2(4k – 1)х + 15k2 – 2k – 7 > 0 верно при любом действительном х?
10.Абсцисса вершины параболы равна 4. Найдите ординату вершины.