помогите с интегралом, проблемы?

Не-е, интегрирование по частям в данном случае лишнее. Можно всё подинтегральное выражение запихнуть в полный дифференциал:

e^(sin^2 x) sin2x dx =
e^(sin^2 x) 2 sinx cosx dx =
e^(sin^2 x) 2 sinx d (sin x) =
e^(sin^2 x) d (sin^2 x) =
d (e^(sin^2 x))

Проверим:
[e^(sin^2 x)]' =
e^(sin^2 x) (sin^2 x)' =
e^(sin^2 x) 2 sin x (sin x)' =
e^(sin^2 x) 2 sin x cos x =
e^(sin^2 x) sin 2x