в урне имеются 40 билетов с номерами от 1 до 40. Билеты вынимают наудачу без возвращения. Чему равна вероятность того, что хотя бы 2 билета совпадут с номерами проведённых испытаний
Итого 1/40 для 1-го номера.
1/39 для второго при успехе 1-го, то есть = 1/39 * 1/40
1/39 для второго при неуспехе 1-го, и при условии, что 2-й тоже не тронут,
(то есть когда на 1-м месте допустимы были только 38)
то есть =1/39 * (39/40 - 1/40)
Итого 1/39 * 1/40 + 1/39 * 38/40 = 1/39 *39/40 = 1/40 для 2-го номера.
1/38 для 3-го при успехе 1-го и 2-го вместе, то есть = 1/38 * 1/40 * 1/39
1/38 для 3-го при успехе только 1-го, неуспехе 2-го и при условии, что 3-й тоже не тронут, не попал на 2-е место
то есть =1/38 * 1/40 * (38/39 - 1/39) = 1/38 * 1/40 * 37/39
1/38 для 3-го при успехе 2-го, неуспехе 1-го и при условии, что 3-й тоже не тронут -не попал на 1-е место
то есть =1/38 *1/40 * (39/40 - 1/40) = 1/38 * 1/40 * 38/40 = 1/40 * 1/40
1/38 для 3-го при неуспехе 1-го, неуспехе 2-го и при условии, что 3-й тоже не тронут -не попал на 1,2 место
то есть =1/38 *(39/40-1/40) * (39/40 - 1/39) = 1/38 * 38/40 * (39/40 - 1/39) =
= 1/40 * (39/40 - 1/39)
Итого 1/38 *1/39 * 1/40 + 1/38 * 1/40 * 37/39 + 1/40 * 1/40 + 1/40 * (39/40 - 1/39) =
= 1/40 *(1/38 *1/39 + 1/38 * 37/39) + 1/40 * ( 1/40 + 39/40 - 1/39) =
= 1/40 * 1/39 + 1/40 * 38/39= 1/40 для 3-го номера.
Ну и так далее, легко доказывается, что вероятность попадания номера на своё место равна 1/40 ))).
Вероятность непопадания ни одного = (39/40)^40.
Вероятность попадания только одного на любом из 40 мест= 1/40 * (39/40)^39
и сумма вероятностей всех таких ситуаций 40/40 * (39/40)^39 = (39/40)^39 .
Вероятность попадания хотя бы 2-х = 1 - (39/40)^39 - (39/40)^40= 1 - (1- 39/40)* (39/40)^39 =
= 1 - 1/40 *(39/40)^39.
=======================
⇢