АР Алексей Романов Первое. Что сделать? - застрекотать И потом, окончания ет-ут-ют только у первого спряжения!
ИМ Иван Маркин Первое. Проверяем по начальной форме глагола - застрекотать. Не на "-ить", не исключение, значит первое спряжение.