Так же, как и отрицательные числа, сначяала не очень наглядно, потом привыкаешь. Очень полезная выдумка. Все расчеты в электротехнике, радиотехнике и квантовой физике "сидят верхом" на корне из -1, точнее, на комплексных числах, в состав которых входит корень из -1.
А все компьютерные игры - расчет изображений в пространстве - "сидят верхом" на кватернионах, которые являются дальнейшим развитием комплексных чисел.
P.S. В математике все правильно. Математика - это логика, использованная для всевозможных операций с символами. Это своего рода магия. Мы засыпаем в математическую мельницу какие-то обозначения и соотношения, математика выводит из этого что-то совершенно неочевидное, вроде (на самом простейшем примере) способа вычисления площади круга, и оно оказывается правильным.
Это одна из основных формул в комплексных числах. Корень из минус одного используется для определения комплексного числа. Альтернативой ему служит соотношение: i^2 = -1.
Также в комплексных числах, если в квадратном уравнении дискриминант меньше нуля, то корень этого уравнения существует, но только он комплексный (в обычных числах нужно было бы написать, что уравнение корней не имеет).
У математики просто фантазия большая, так, в Математическом анализе даже деление на ноль приветствуется, в результате получится положительная бесконечность.