p^2+q^2=r^2 как доказать, что среди p,q,r хотя бы одно число - четное? Помогите пожалста :(

Question

Эдуард · Accepted Answer

Целая степень четного числа - четное число, целая степень нечетного числа - нечетное число. 
Допустим p и q нечетные, тогда и их квадраты нечетные. Сумма двух нечетных чисел - четное число, следовательно и r четное. 
Что и требовалось доказать.

Василий · Answer

Ну, доказательство "от противного". 
 
Пусть все три числа - нечетные: 
p = 2i + 1 
q = 2j + 1 
r = 2k + 1 
 
Тогда: 
(2i+1)^2 + (2j+1)^2 = (2k+1)^2 
(2i+1)^2 = (2k+1)^2 - (2j+1)^2 
(2i+1)^2 = [(2k+1) - (2j+1)][(2k+1) + (2j+1)] 
(2i+1)^2 = (2k - 2j) (2k+2j+2) 
4i^2 + 4i + 1 = 4 (k-j) (k+j+1) 
1 = 4 (k-j) (k+j+1) - (4i^2 + 4i) 
1 = 4 W 
где W = (k-j) (k+j+1) - (i^2+i) - целое число. 
 
Получили противоречие.

Вова · Answer

Предположим, все три числа нечётные. Тогда в левой части будет сумма двух нечётных чисел, т. е. число чётное, а в правой части нечётное - противоречие.