как доказать, что в треугольнике и вписанной окружности s=p/2*r?

Если из центра вписанной окружности провести отрезки к вершинам треугольника, то получатся три треугольника. Площадь каждого из них равна половине произведения стороны большого треугольника на радиус вписанной окружности. Площадь болього треугольника равна половине произведения радиуса вписанной окружности на сумму всех сторон треугольника
S = r * (a + b + c) / 2 = r * p / 2
Отсюда
r = 2S / p