В окружность радиуса R вписан прямоугольный треугольник сумма катетов которого равна P. Найдите площадь треугольника.

Question

Найдите площадь треугольника.

Александра · Accepted Answer

У любого прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, гипотенуза является диаметром этой окружности. 
 
Пусть один катет Х, а другой Y. Гипотенуза равна 2R 
 
По теореме Пифагора 
 
X^2 + Y^2 = 4R^2 
X + Y = P 
 
Система уравнений с двумя неизвестнымиэ 
Если во втором уравнении возвести в квадрат левую и правую части, получится: 
 
X^2 + Y^2 = 4R^2 
X^2 + Y^2 + 2XY = P^2 
 
2XY = P^2 - 4R^2 
 
1/2 XY = 1/4 P^2 - R^2 - это и есть плошадь

Константин Мизиркин · Answer

Начнем с того, что если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза равна диаметру этой окружности.
Пусть катеты равны a и b. Возведём в квадрат их сумму:
(a+b)² = a² + b² + 2ab.
По теореме Пифагора a² + b² = (2R)².
Подставим P вместо a+b.
P² = (2R)² + 2ab. Отсюда
ab = P²/2 - 2R².
Площадь треугольника равна ab/2 или
P²/4 - R².

Дмитрий Крутиков · Answer

S= abc/4R, где abc- стороны треугольника. Известно, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, т. е. гипотенуза равна 2R. Теперь используй правило Пифагора, найдешь сторону А и В через Р 
Успехов!