Задачи по тригонометрии

1)

cos(x) - 1/2sin(2x) +cos(x) = sin(x)

cos(x) - sin(x)*cos(x) +cos(x) - sin(x) = 0

cos(x)*(cos(x) - sin(x)) + cos(x) - sin(x) = 0

(cos(x) + 1)(cos(x) - sin(x)) = 0

Отсюда совокупность:

cos(x) = -1

cos(x) = sin(x)

Поэтому

x = π + 2πk

x = π/4 + πk

Ответ: {π + 2πk; π/4 + πk\ k - целое}

б) Просто найдите такие k, при которых x принадлежит данному интервалу.

Получится x = 5π/4 и x = π

3) x *log(16,x) ≥ log(16,x^5)+x*log(2,x)

ОДЗ: x > 0

Преобразуем так:

1/4*x*log(2, x) - 5/4*log(2, x) - x*log(2, x) ≥ 0

log(2, x)*(1/4*x - x - 5/4) ≥ 0

(x - 1)*(1/4*x - x - 5/4) ≥ 0

Отсюда методом интервалов находите, что:

x ≥ 5

-1 ≤ x ≤ 1

- Это совокупность.

Пересекая с ОДЗ:

x ≥ 5

0 < x ≤ 1

4^x + 4^(-x) ≥ 10/3

Заменим 4^x на t. Тогда:

t - 10/3*t + 1 ≥ 0

t ≥ 3

t ≤ 1/3

--> 4^x ≤ 1/3 и 4^x ≥ 3 --> x ≤ log(4, 1/3) и x ≥ log(4, 3)

Ответ: [ log(4, 3); 1] ∪ [5; +∞)

2) Числа свои подставите: