если поступить в вуз платно, можно ли там пройти военную кафедру, или она только для бюджетников?

при чём тут платно и бюджет? Если есть военная кафедра в вузе, тогда можно пройти, если нет, то нет. Если хочешь от армии откосить, то учись похвально и поступай в аспирантуру, закончишь и военник не нужен

если есть военная кафедра, и будешь хорошо учиться, своевременно сдавать экзамены и зачеты, то тогда можно

Если есть военная кафедра то не имеет значение на какой основе вы обучаетесь. Важно чтобы на ней возможно не было исключительно только целевое обучение.