Задачи повышенной трудности 7 класс

Пусть трехзначное число АВС, тогда шестизначное число имеет вид АВСАВС
(А, В, С - числа от нуля до 9).

Докажем утверждение для 7.

Имеем
АВСАВС = А*100000 + В*10000 + С*1000 + А*100 + А*10 + С

Делим 100000 на 7, остаток от деления = 5.
(Действительно: 100000 : 7 = 14285. 100000 - 7*14285 = 5).
Значит если А*100000 делить на 7, то остаток от деления будет = А*5.
А*100000 = NA*7 + A*5, где NA - целое число.

Делим 10000 на 7, остаток от деления = 4.
(Действительно: 10000 : 7 = 1428. 10000 - 7*1428 = 4).
Значит если В*10000 делить на 7, то остаток от деления будет = В*4.
В*10000 = NВ*7 + В*4 где NВ - целое число.

Делим 1000 на 7, остаток от деления = 6
(Действительно: 1000 : 7 = 142. 1000 - 7*142 = 6).
Значит если С*1000 делить на 7, то остаток от деления будет = С*6.
С*1000 = NС*7 + С*6 где NС - целое число.

Делим 100 на 7, остаток от деления = 2
(Действительно: 100 : 7 = 14. 100 - 7*14 = 2).
Значит если А*100 делить на 7, то остаток от деления будет = А*2.
А*100 = МA*7 + A*2, где МA - целое число.

Делим 10 на 7, остаток от деления = 3
Значит если В*10 делить на 7, то остаток от деления будет = В*3.
В*10 = МВ*7 + В*3, где МВ - целое число.

Получаем, что
АВСАВС = А*100000 + В*10000 + С*1000 + А*100 + А*10 + С =
NA*7 + A*5 + NВ*7 + В*4 + NС*7 + С*6 + МA*7 + A*2 + МВ*7 + В*3 + С =
(NA + NВ + NС + МA + МВ) *7 + (А*5 + В*4 + С*6 + А*2 + В*3 + С) =
(NA + NВ + NС + МA + МВ) *7 + ( А*(5+2) + В*(4+3) + С*(6+1) ) =
(NA + NВ + NС + МA + МВ) *7 + ( А + В + С )*7

Таким образом, число АВСАВС делится на 7.

Аналогично доказываем утверждение для 11 и 13.