какой порядок возмещения судебных расходов?

определением суда на ответчика была возложена обязанность по оплате судебной экспертизы.

решением суда истцу в иске отказано в полном объеме.

оплата экспертизы не производилась (экспертная организация не выставляла счет) .

в решение суда не указана сторона, которая должна оплатить экспертизу.

нужно ли подавать заявление о порядке возмещения судебных расходов или, учитывая, что истцу отказано в иску, он обязан возместить издержки "автоматически".?

Вам ничего писать не надо, если нужно экспертная организация пусть сама подает на истца

возмещает экспертизу та сторона, которая заказывает, это раз. .
два - все расходы возмещает проигравшая сторона

порядок оплаты судебных расходов указывается в постановлении (определении, решении) суда. Если этого нет, а расходы понесла выигравшая сторона, то подается иск о возмещении судебных расходов, или заявляются дополнительные требования в этом процессе.