Как в tumblr сделать неподвижный фон? Чтобы лента прокручивалась, а фон оставался на месте?

Зависит от вашей темы. В некоторых есть просто пункт, в некоторых нужно смотреть код.
Ключевой момент
background-position: fixed;

Забейте у себя в поиск (Cmd+F) "background"

#background
{background:url(your-image.jpg);
background-position:fixed; }