Существует ли место на Земле где стрелка компаса обоими концами показывает на юг?

Нет.
Вот если бы ты спросил, есть ли такое место, откуда любое направление будет направлением на юг, тогда я ответил бы - "северный полюс". Но с магнитной стрелкой все меняется. На северном полюсе магнитная стрелка располагается ВЕРТИКАЛЬНО. Если ты держишь компас горизонтально, то его конструкция просто не позволяет стрелке занять нужное положение, и ее показания не могут считаться достоверными.

Это они, что дугой изогнуться должны, что ли? Вот видишь - очевидно, что нет такого места.

при сгибании стрелки пальцами пополам, они обе покажут в одну сторону

На географическом северном полюсе любая палка, параллельная земле показывает обоими концами на юг. Куда уж там стрелка компаса.

Северный полюс. На нем любое направление - юг.

Северный Полюс-точно!