в чём ошибка? Бернард Шоу любил повторять, что "Я служу публике, но не поклоняюсь ей".

Ксюша, в русской грамматике есть ПРЯМАЯ И КОСВЕННАЯ РЕЧЬ. Ошибка в этом предложении в том, что это, фактически, косвенная речь, и должно быть :
если прямая, то "... Шоу любил повторять: " Я служу публике, но не поклоняюсь ей"
А косвенная: "...Шоу любил повторять, ЧТО ОН СЛУЖИТ ПУБЛИКЕ, НО НЕ ПОКЛОНЯЕТСЯ ЕЙ" , те есть, БЕЗ КАВЫЧЕК и с маленькой буквы.