найти оригинал по заданному отображению 1/(p^2+1)^2

Наверно, можно попробовать как-то так.

Пусть:
f(t) -> 1/(p^2+1)^2

Тогда:
f'(t) -> p/(p^2+1)^2 - f(+0)

Будем искать такую функцию f(t), что f(+0) = 0

Тогда:
f'(t)/t -> S_{p,оо} q/(q^2+1)^2 dq = 0.5/(p^2+1)

(Здесь S_{p,оо} - знак интеграла с пределами от p до бесконечности)

С другой стороны:
sin t -> 1/(p^2+1)

Следовательно:
f'(t)/t = 0.5 sin t
f' = 0.5 t sin t

f(t) = 0.5 S t sin t dt = 0.5(-t cos t + sin t + С)

Константу С находим из условия f(+0) = 0:
C = 0

Получаем ответ:
f(t) = 0.5 (-t cos t + sin t)

В общем, в выкладках наверняка наврал, но идея, надеюсь, понятна.