Не совсем понятно объяснили.
Поэтому объясню два варианта.
31 мая был заключен контракт на услуги, а контрагент приступил к услугам с 01 июня.
Тут ничего страшного. Так как договор изначально это лишь намерение произвести сделку. поэтому вы можете заключить договор хоть 01 января, а начать сотрудничать по нему с 01 июня. (договор вступает силу и считается рабочим с момента подписания акта приема-передачи" Так мне объяснили аудиторв нашей организации.
Более лучший вариант - это все таки внести пункт в договор: начало работ (начало оказания услуг) с 01 июня 2013 по 31 декабря 2013г.
если же вы имеете в виду, что заключили договор 31 мая, а в акте написано 01 мая. то это изначально неправильно, и затраты по данному договору могут признать недействительными