Можно ли поставить брекеты в одной клинике, а снять в другой? Очень дорого в моей берут за снятие!

Можно. Но в случае претензий с вашей стороны клиника, начавшая лечение, ответственности нести не будет, т. к. брекеты сняты не по плану лечения и назначению врача, а по вашей собственной инициативе.