Пусть f(x)=x^2/(x+1) .Справедливо ли:
1.f(x) убывает на отрезке [-2;-1,5]
2.График y=f(x)имеет асимптоту y=x+1
3.f(x)имеет три точки экстремума
4.f(x) иммет максимум в точке х=0
И почему? как к этому пришли?
1) Определим промежутки возрастания и убывания данной функции.
Для этого находим производную:
f'(x) = 2x / (x+1) - x² / (x+1)² и находим её нули:
х = -2 и х = 0. Это точки экстремума функции. Проанализировав значения функции в этих точках и их области приходим к выводу, что -2 – точка максимума, а 0 – точка минимума функции.
Также не следует забывать, что функции имеет вертикальную асимптоту x=-1 (поскольку при x → -1, f(x) → ∞).
Таким образом f(x)
возрастает на: (-∞; -2] U [0; +∞) и
убывает на [-2; -1) U (-1; 0].
Поэтому первое утверждение справедливо.
2) Найдём наклонные асимптоты. y = k*x + b, где
k = lim (f(x)/x), x → ±∞;
b= lim (f(x) - k*x), x → ±∞;
k = lim (x/(x+1)) = 1;
b=lim (x²/(x+1)-x) = -1;
y = x - 1.
Второе утверждение ложно.
3) График имеет две точки экстремума (см. пункт 1).
Третье утверждение ложно.
4) f(x) имеет минимум в точке x = 0 (см. пункт 1).
Четвёртое утверждение ложно.
Прлагаю ссылку на исследование графика этой функции.
⇢