Даны две концентрические окружности радиусов r1 = 2 и r2 = 1. На большей окружности наудачу ставятся две точки А и В. Какова вероятность того, что отрезок АВ не пересечет малую окружность?
Пусть А - точка на большей окружности. Из точки А проведем касательные АД и АЕ к меньше окружности, точки Д и Е находятся на большей окружности, пусть Н - точка касания АД с окружностью, G - точка касания АЕ с окружностью. Пусть О - центр окружностей. Проведем отрезки ОА, ОН и ОG.
Треугольник АОН - прямоугольный, катет ОН = 1, гипотенуза ОА = 2. Синус угла ОАН = 1/2, значит угол ОАН = 30 гр. Аналогично, в треугольнике АОG угол ОАG = 30 гр. Значит угол ДАЕ = 60 гр. Угол ДАЕ - вписанный угол для большей окружности, измеряется половиной дуги ДЕ большей окружности. Следовательно дуга ДЕ составляет 120 гр, то есть 1/3 большей окружности.
Если точка В отрезка АВ попадает на дугу ДЕ, то отрезок АВ пересекает меньшую окружность, вероятность этого события равна 1/3.
Вероятность противоположного события - "АВ не пересекает меньшую окружность" равна 2/3.
⇢