Как разобрать по составу слово проявляющимися?

В корне данного слова происходит чередование В//ВЛ, которое сейчас в школах изучается:
● ловить – ловлю, ловля;
● проявить – проявлю, проявление.

Кроме того, ПРОЯВЛЯЮЩИМИСЯ – это действительное причастие настоящего времени, образованное от глагола ПРОЯВЛЯТЬСЯ при помощи суффикса -ЮЩ-.

Причастие это возвратное, так что его окончание располагается между суффиксом -ЮЩ- и постфиксом -СЯ. Это окончание творительного падежа множественного числа -ИМИ, которое легко найти, если сопоставить данную форму причастия с другими:
● проявляющИЙся;
● проявляющЕГОся;
● проявляющЕМУся;
● проявляющАЯся;
● проявляющЕЕся;
● проявляющИМся;
● проявляющИХся.

Следовательно, состав данного слова таков:

● про/явл/я/ющ/ими/ся – приставка/корень/суффикс/суффикс/окончание/возвратный суффикс (постфикс); основа слова прерывистая – проявляющ_ся.
.