Подскажите если подключить куллер через нихромовую катушку, обматка в катушке будет грется?

Через кулер - будет греться, но очень слабо. Да и кулер немного замедлится.

А чтобы нагревалось, надо просто подобрать сопротивление. Во-первых, чтобы ток (12/сопротивление) не превысил возможностей блока питания, иначе греться будет не катушка, а он сам.
В допустимых же пределах:
1. Чем меньше сопротивление, тем больше теплоты будет выделяться.
2. Чем проволока толще, тем больше придется брать ее длину для получения того же сопротивления.
Толстой проволоки придется мотатть много, а тонкой - немножко. Если сопротивление будет таким же, то и теплоты выделится столько же. Но при толстой проволоке теплота будет выделяться с большой длины проволоки и займет много места. Проволока будет нагрета слабее, но зато ее много А при тонкой проволоке та же теплота выделится в пространстве крошечной катушки, и проволока нагреется гораздо сильнее. Короче говоря, от толщины выбранной проволоки зависят размеры катушки, и следовательно, степень сфокусированности тепла. А количество тепла зависит только от сопротивления.

У меня самодельные теплые полы. Я прошивал нихромовой проволокой подкладку линолеума. Проволоку я брал толстую, от киловаттной плитки, но этой проволоки я взял много - две спирали последовательно. Поэтому тепла выделяется всего 500 ватт, но зато она выделяется на большой длине проволоки, метров 40 будет. И вся эта проволока распределена по площади пола, а не смотана в катушку или спираль. Поэтому пол в любой точке нагрет всего ли 50 градусов, хотя подключен напрямую в розетку.