Смогу ли я поставить машину на учет в Чеченской республике, проживая и прописаный при этом в другом регионе страны ???

Зарегистрировать можно в любом регионе, но налог придеться платить по месту прописки.

По закону, насколько я знаю, нет препятствий, на практике часто требуют по прописке регистрировать авто. Точно так же как по Конституции гражданин РФ может жить где ему нравится в России, на практике попробуйте на работу устроиться не в своем регионе без прописки.

Конечно. В любом МРЭО России.

очень дорого.