Можно ли код HTML виджета разместить у себя в системе на ПК, что бы он работал и вывести окно на рабочий стол ?

Смотря какого виджета и зачем это нужно.

Мне недавно потребовалось таким образом извлечь гуглобаннер со страницы сайта и вставить в одну программу.
Не прокатило.
Но когда я переходил на нужную страницу и просто удалял лишний код, всё работало.