Как ток зависит от толщины провода? Может есть какой-то закон? Или формула. Типа: "Чем тоще провод, тем.. . "

сопротивление провода обратно пропорционально поперечному сечению провода. чем меньше сопротивление провода, тем меньше потери электроэнергии на подводящих проводах. при большой протяжённости провода его сопротивление может значительно снизить ток в линии а увеличение диаметра провода может снизить его влияние на результирующий ток в нагрузке.

Как вариант, есть такое понятие - "максимальный ток, допустимый в эксплуатации". Вот этот ток, да, зависит от сечения (толщины) провода. В данном случае, имеется ввиду, что при превышении этого тока, температура провода повысится настолько, что будет портится (плавится) изоляция этого провода, а при сильном превышении, даже расплавится сам провод. Может, это имелось ввиду в вопросе?
Есть еще вариант, когда проводом замыкают источник НАПРЯЖЕНИЯ и вот тогда, ток будет зависеть от толщины провода.