от какого слова появилось слово закат?

Может быть, от слова катиться.
Солнышко по небу катится, и наступает заход солнца за горизонт - закат.
Годы жизни катятся, и жизнь подходит к закату.

закатить--закат ( нулевая суффиксация)
Очень продуктивное словообразование.
Перевод--переводить
обрыв--обрывать
отдых--отдыхать
обмен--обменять