на ВАЗ 2106 гуляет кузов из стороны в сторону в районе заднего моста, в чем проблема может быть?

оторвало кронштейн поперечной тяги на кузове

Сайленблоки поменяй. Или сломалась реактивная тяга.

Обычно это резинки реактивных тяг и аммортизаторов.

Залезь под машину и посмотри на тяги, которые удерживают задний мост.