Где посоветуете остановиться (населенный пункт) у моря не далеко от Таганрога.

В самом Таганроге и около него – таганрогский залив. Море очень мелкое, и честно говоря, третьесортное.
Хорошее море начинается с села Рожок (Натальевка) , но это уже приграничное место, сейчас там может быть опасно.
А жалко, несколько лет назад там шло активное строительство домов отдыха и частного сектора, появился рыночек и магазины.
Деревня, но уютная.
В Домах Отдыха на побережье сейчас беженцы, особенно в Дмитриадовке.
Одним словом не советую туда ехать. Подумайте о городах Ейск (Краснодарский край) или Азов (Ростовск. обл, но рядышком) . Там приличные места, но мелкие, подходящие детям.