В действующем законодательстве эта норма не закреплена, следовательно, на усмотрение сторон. Если предприятие изъявит желание сделать карты за свой счет - это не запрещено. Однако, предприятие может потребовать от водителя заказать карту (на тех же основаниях, что и получить/заменить водительское удостоверение для выполнения своих трудовых обязанностей).
В компании УРАЛАВТОКАРТ работают профессионалы своего дела. Екатеринбург, Челябинск, Пермь. https://uralautocard.ru/
Если речь о первичном выпуске - однозначно предприятие (при условии, конечно, что с водителем заключён именно трудовой договор, а не осуществлена гражданско-правовая сделка, по условиям которой водитель оказывает предприятию услуги, как предприниматель) .
Если водитель работает по трудовому договору, его руководство в конец обнаглело, вот только права качать, для начала, не следует, следует спокойно сказать, что рассматриваемое требование грубо нарушает права водителя, как работника.