Существует ли бесплатная программа для учета кадров?

В случае неимения средств на внедрение полноценной erp-системы (а таковой можно было бы считать соответствующий модуль 1С, тем более почти наверняка ваша бухгалтерия пользуется продуктом той же фирмы и их интеграция прошла бы с наименьшими трудозатратами) я бы смотрел в сторону продуктов галактики. Кажется, галактика-экспресс имела что-то подобное http://galaktika-express.ru/

Другое дело, что абсолютно бесплатно провернуть это все равно не получится, вам нужен специалист данного профиля, чтобы сконфигурировать систему под ваши задачи.