Я хочу спросить про определённую группу рядов. Например, в ряде (1+ ax + a(a-1)x^2/2 + a(a-1)(a-2)x^3/3! + каждый следующий член, помимо увеличения степени x и деления на возрастающие числа, ещё и умножается на многочлен (a-d), где d - это натуральное число от 0 до бесконечности. Как в таких (и конкретно этом случае) можно записать формулу n-ого члена ряда? Заранее спасибо!
x^n/n!*П (a-s) [ s =0 … n-1] или через гамма -
функцию
Для этого и применяется знак произведения П
В твоем случае
b[n]=x^n/n!*П (a-k-1) (снизу от П пишется k=1, сверху - n).
Первый член (1) под это дело не очень попадает, ну да его можно выписать отдельно.
n= 0 b(0)= 1; n= 1 b(1)= ах^1/1! = ax; ...при произвольном неотрицательном целом n имеем: b(n)= а! х^n/((а-n)!n!). Вот это и искомая вами формула от n= 0 до n= бесконечности).
То, что ты пишешь, AFAIR, напоминает формулу интерполяционного полинома Ньютона. Можно ввести определение обобщенной степени величины а: a^[k]=a*(a-1)*...*(a-k+1), k=1,2,...
a^[0]=1. Тогда общий член твоего ряда запишется в виде: a^[k]*x^k/k!
⇢