При покупке сначала написать заявление на снятие с учета старого хозяина, и еще 1 о постановке себя на учет. Правильно?

Если вы покупатель.

1. Подписываете договор купли-продажи ТС в 3-х экземплярах, два вам, и один продавцу. Зачем два? Второй отдадите в МРЭО при регистрации — его заберут. Договор не обязательно заключать в шараге за 1000р, можно любой — в свободной форме, где подписываетесь вы и продавец и все.
2. Отдаете деньги.
3. В ПТС-е, в пока еще чистой карточке, где будет записан следующий владелец, тоесть вы, есть графа "подпись прежнего собственника" — там расписывается продавец, вы расписываетесь в соседней "подпись настоящего собственника". Забираете ПТС себе.
4. Получаете ключи, свидетельство о регистрации ТС, талон Техосмотра, если есть.
5. По желанию, можете с продавцом обменяться ксерокопиями паспортов, на всякий случай. Это не обязательно, но не помешает в спорных случаях, хотя не все любят раздавать сканы своих паспортов. Так что, это по договоренности.
6. Далее вам надо сделать диагностическую карту и ОСАГО и со всем этим добром ехать ставить машину на учет.

Итого. После всего этого у вас на руках
— ПТС
— СОР (свид-во о регистрации ТС)
— Договор в 2х экземплярах
— ОСАГО (сделаете)
— диагностическая карта (тоже сделает