limx-1 1/(3^(x-1)-1) равен бесконечности. доказать исходя из определения предела

Question

limx->1 1/(3^(x-1)-1) равен бесконечности. доказать исходя из определения предела

Виталик Моисеев · Accepted Answer

Интересный вопрос :) Здесь применяется стандартное определение Коши, т. е. требуется показать, что для любого epsilon>0 существует такое delta>0 что из неравенства |x-1|epsilon. Из неравенства |f(x)|>epsilon с очевидностью следует неравенство 1-1/eps<3^{x-1}<1+1/eps. Так как epsilon>0, то 1-1/eps<1, при этом 1+1/eps>1. Сузим полученный интервал: 1<3^{x-1}<1+1/eps Почему возможно такое "сужение": если при некотором значении epsilon значения выражения 3^{x-1} удовлетворяют неравенству 1<3^{x-1}<1+1/eps, то они удовлетворяют и неравенству 1-1/eps<3^{x-1}<1+1/eps. Поэтому доказав выполнимость утверждения для 1<3^{x-1}<1+1/eps мы автоматом докажем утверждение для 1-1/eps<3^{x-1}<1+1/eps. Из неравенства 1<3^{x-1}<1+1/eps имеем: |x-1|0 существует такое значение delta=log3(1+1/eps), что из неравенства |x-1|eps. Это и означает равенство предела бесконечности.