Подают ли банки иски на несовершеннолетних наследников должников?

Долги наследуются также как и у совершеннолетних.

У несовершеннолетних есть опекуны.
Должна быть страховка на кредиты на случай смерти - проверьте.

Лазейка - если завещание оставлено только на часть имущества из общей массы возникшего наследства.

Статья 1175 гласит, что кредиторы вправе потребовать возврата долга с наследников, принявших наследство в пределах исковой давности. При этом, срок давности «не подлежит перерыву, приостановлению и восстановлению» .
Если наследство еще не принято, то иск предъявляется к имуществу. В этом случае суд примет исковое заявление и приостановит производство до выявления ответчиков (наследников) . После того, как наследники будут найдены, к ним будет предъявлено исковое заявление о возврате долга.
Срок исковой давности для взыскания долгов наследодателя с наследников составляет три года, и если, например, покойный брал в долг некую сумму денег, подтвержденную распиской, то срок исковой давности будет отсчитываться с даты обязательства по возврату долга, стоящей в расписке. В соответствии со ст. 201 ГК, «перемена лиц в обязательстве не влечет изменения срока исковой давности и порядка его исчисления» .
Прежде чем принимать наследство, обремененное долгом, стоит сопоставить размеры долга с размерами наследства. Если долг (например, кредит за квартиру или машину) превышает или равен стоимости наследуемого имущества, либо вы попросту считаете нецелесообразным принятие такого наследства, от него можно отказаться (ст. 1157 ГК РФ) . Отказываться придется от всего наследства целиком, от части наследства отказываться нельзя.
Хотя, если наследник один, он может получить часть имущества покойного и избежать наследования долгов. Например, умерший родственник завещал вам квартиру и это указано в завещании, но по поводу остального имущества, в т. ч. кредита за машину, он при жизни не распорядился. Единственный наследник может унаследовать имущество и по завещанию (т. е. унаследовать квартиру) и по закону (унаследовать машину вместе с кредитом) . Наследник в этом случае может отказаться от наследства по закону и принять наследство по завещанию и тем самым все-таки получить часть наследства, которая не обременена долгом.
В случае, когда по завещанию одному наследнику подназначен другой наследник (т. е. если в завещании указано, что в случае смерти одного наследника в период вступления в наследство, наследником этой же части наследства становится другой наследник) , отказаться от наследства нельзя (ст. 1158).