Может ли быть кашель, если горло не красное? ???

Конечно. Кашель - симптом многих болезней и с горлом из них связаны далеко не все.
Например Коклюш. Болезнь которая вообще не имеет никаких симптомов кроме беспричинного сухого кашля.

Может сопли по задней стенке горла стекают. Может и бронхит и фарингит и ларингит быть