Что такое матрица Якоби, Якобиан и для чего они нужны? (По простому)

Пусть, для простоты, даны две функции f(x,y), g(x,y) двух переменных х, у. Матрица Якоби - это матрица А, составленная из частных производных: 1-я строка df/dx, df/dy; 2-я строка dg/dx, dg/dy.
Определитель этой матрицы называется "якобиан", J=det A.
Якобиан используется, например, при переходе к новым переменным интегрирования в двойном интеграле (он имеет смысл коэффициента растяжения элемента площади) . Если J =/= 0 в точке (х0,у0), то в окрестности этой точки переход от переменных (х, у) к (f,g) взаимно однозначен.