точка двигается к центру по спирали с постоянной по модулю скоростью . изменится ли её ускорения и период?

Скорость может быть линейной, а может быть угловой. Ускорение растёт в любом случае, а период уменьшается только в случае постоянной линейной скорости. При постоянной угловой скорости период не меняется.