Нужно вывести каноническое уравнение гиперболы, т. е. понять как получилась сама формула этого уравнения. Изначальное уравнение: Модуль открывается, корень из (x+c)^2+y^2 - корень из (x-c)^2+y^2 Модуль закрывается = 2а
Так это как повезет. Может и эллипс получиться. В общем, идея такая - возводите обе части в квадрат. Получаете:
| sqrt{ (x+c)^2+y^2 } - sqrt{(x-c)^2+y^2} | = 2a
[ sqrt{ (x+c)^2+y^2 } - sqrt{(x-c)^2+y^2} ]^2 = 4a^2
(x+c)^2+y^2 + (x-c)^2+y^2 - 2 sqrt{ [(x+c)^2+y^2] [(x-c)^2+y^2] } = 4a^2
2x^2+2c^2+2y^2 - 2 sqrt{ [(x+c)^2+y^2] [(x-c)^2+y^2] } = 4a^2
(x^2+y^2+c^2) - sqrt{ [(x+c)^2+y^2] [(x-c)^2+y^2] } = 2a^2
Дальше надо помучить подкоренное выражение:
[(x+c)^2+y^2] [(x-c)^2+y^2] =
(x+c)^2(x-c)^2 + y^2[(x+c)^2+(x-c)^2] + y^4 =
(x^2-c^2)^2 + 2y^2[x^2+c^2] + y^4 =
(x^2+c^2)^2 + 2y^2[x^2+c^2] + y^4 - 4x^2c^2 =
(x^2+c^2+y^2)^2 - 4x^2c^2
Дальше, чтобы не возиться с безумными суммами, введем обозначение:
D = x^2+c^2+y^2
Тогда:
D - sqrt(D^2 - 4x^2c^2) = 2a^2
D - 2a^2 = sqrt(D^2 - 4x^2c^2)
(D - 2a^2)^2 = D^2 - 4x^2c^2
D^2 + 4a^4 - 4Da^2 = D^2 - 4x^2c^2
Da^2 - a^4 = x^2c^2
x^2+c^2+y^2 - x^2c^2/a^2 = a^2
(1-c^2/a^2)x^2 + y^2 = a^2-c^2
(a^2-c^2)/a^2 x^2 + y^2 = a^2-c^2
x^2/a^2 + y^2/(a^2-c^2) = 1
А это уже почти каноническое уравнение. А вот чего - зависит от знака a^2-c^2.
⇢