В метро на дверях пишут "do not lean on door". Не надо ли писать как "do not lean on the door"?

Совершенно верно, артикль должен стоять перед door. Но он может быть опущен если нехватает места... вообще в подобных надписях довольно таки часто используется так называемая reduced grammar. Еще раз, с точки зрения грамматики фраза "do not lean on door" некорректна.
В общем вот тут можете сами прочитать http://forum.wordreference.com/showthread.php?t=2337460 В Англии кстати тоже самое написано.

вообще то вы правы НО: в текстах вывесок, объявлений и заголовков часто допускается упущение артиклей как просто не несущих особой информации слов

Its does not matter trust your yourself

Поскольку речь идет обо всех дверях всех вагонов метрополитена, а не о конкретной двери, то употребляется без артикля

Другие вопросы из категории «Наука, Техника, Языки»