Доказать, что из всех правильных четырехугольных пирамид, у которых сумма высоты и стороны основания постоянна, наибольший объем имеет пирамида, у которой боковая грань составляет с плоскостью основания угол 45 градусов.
S - площадь основания, a - сторона основания, h - высота
Объем пирамиды: V=(S*h)/3=(h*a^2)/3 (в основании - квадрат) .
Но по условию h+a=L, h=L-a, V=(1/3)*(L-a)*a^2=(1/3)*(L*a^2-a^3)
Производная: V'=(1/3)*a*(2*L-3*a)
Экстремумы: V'=0, a*(2*L-3*a)=0, a1=0, a2=(2/3)*L
Первый случай вырожден, так что остается a=(2/3)*L, h=L-a=(1/3)*L
Но тангенс угла между основанием и гранью равен: tg(x)=h/(a/2)=2*h/a=2*(1/3)*L/((2/3)*L)=1, x=arctg(1)=45 градусов.
⇢