Дифференциальные уравнения в теоретической механике

Question

Дифференциальное уравнение 
 
x''=g-kx' где g и k - ускорение свободного падения и коэффициент сопротивления воздуха соответственно. 
 
Будь это математика, я бы заменила x'' на z', x' на z, а после z заменила бы на z=u*v, и последующим интегрированием z, нашла бы х. 
 
Однако ответ в методичке не сходится. и предполагаю, что нужно применить формулу для лнду. y=y*+^y, где ^y - решение характеристического уравнения. 
 
как найти остальную часть ( =g ). которая равна y*/ 
 
Ответ должен получиться такой 
 
x=С3+С4*e^(-kt)+(g/k)*t, где С3, С4 - некоторые постоянные. 
 
Главный вопрос: как найдено (g/k)*t

Кирилл Аксенов · Accepted Answer

Да нет, этот ответ получается полностью из математических соображений. Можно решать как понижением степени ДУ, так и с использованием характеристического полинома - ответ одинаков. 
Это линейное неоднородное ДУ второго порядка: 
x''+kx'=g 
Решение складывается из решения однородного и частного. 
1) x''+kx'=0 
x(t)=С1+С2*exp(-kt) 
2) Частное решение взять в форме x=At+B, тогда 
x'=A 
x''=0 
kA=g => A=g/k 
Отсюда и решение: 
x(t)=C1+C2*exp(-kt)+(g/k)*t