Логогриф и анаграмма - синонимы? Поясните.

Нет.
Логогриф - загадка, в которой новые слова образуются в результате прибавления или убавления одной буквы или слога .

Анаграмма - литературный приём, состоящий в перестановке букв или звуков определённого слова (или словосочетания) , что в результате даёт другое слово или словосочетание.