как доказать что десятичная запись квадрата натурального числа не может состоять из одинаковых цифр?

число A являющееся квадратом какого-то числа B и состоящее из одинаковых цифр имет вид А=a*10^n+a*10^(n-1)+...+a*10+a. можно вынести а, А=a(10^n+10^(n-1)=...+10+1). по условию √A=B, для этого и а и скобка должны быть полными квадратами. если для а это возможно при а=4 и а=9, то скобка не при каких n не может быть полным квадратом натурального числа. на самом деле вынесем за скобку 10^2, получим А=а10^2(C+1/10+1/100), где С=10(n-2)+10^(n-3)+...1) число натуральное, тогда вся скобка число дробное. отсюда следует утверждение задачи.