Каким методом решается данное дефферинциальное уравнение x*(y ' )=(x^2+tg(y) ) * (cos(y) ) ^2

сделаем замену.
y= arctg( t(x) )
Тогда
y' = t' / (1+t^2) , tg(y) = t, cos^2(y) = 1/(1+t^2)
подставляем в уравнение.
t' *x = x^2 +t
решаем это уравнение.
получаем t= x(x+C)

==>> y = arctg(x(x+C))