Пуля входит в доску толщиной 0,05 м со скоростью м/с, а вы-летает из доски, пробив ее, со скоростью м/с. Принимая, что си-ла сопротивления пропорциональна квадрату скорости, найти сколько времени продолжалось движение пули через доску.
Итак, что нам известно:
скорость пули в момент входа в доску: v(0) = v0
скорость пули в момент вылета из доски: v(T) = v1
расстояние, которое прошла пуля за время Т: P
На промежутке [0, T] на пулю действовала сила сопротивления, пропорциональная v^2. Из второго закона Ньютона получаем:
dv/dt = - A v^2
Здесь A - неизвестный параметр.
Решаем это уравнение:
dv / v^2 = - A dt
1/v = At + B
v = 1/(B+At)
Из начального условия v(0)=v0 находим: B = 1/v0
Из граничного условия v(T)=v1 получаем зависимость T от A:
1/v1 = 1/v0 + AT
AT = 1/v1 - 1/v0
С другой стороны, за время T был пройден путь P. Получаем:
P = S(от 0 до T) v dt =
S(от 0 до T) dt / (B+At) =
1/A ln(B+At) | (от 0 до T) =
1/A [ ln(B+AT) - ln(B) ] =
1/A [ln v0 - ln v1]
(здесь через S обозначен интеграл)
Отсюда получаем уравнение для T:
[ 1/v1 - 1/v0 ] = [ln v0 - ln v1] / P * T
Решаем это уравнение и получаем ответ:
T = P * [ 1/v1 - 1/v0 ] / [ln v0 - ln v1]
⇢