как решить уравнение или доказать что у него нет корней x^3-x-1=0

Один действительный корень и два мнимых. Это для справки. Постройте два графика:
y=x+1
y=x^3
Абсцисса точки их пересечения - это и будет действительный корень с какой-то точностью. Потом можно его уточнять до заданной точности известными в высшей математике способами.