C помощью чего можно разослать порядка 5 тысяч писем?

С помощью php-функции mail()

Любым почтовым клиентом буть то The Bat или Outlook

maxprog maxbulk mailer. Она для спама не годится. Просто продвинутый почтовый клиент. На серверах лимит на рассылку. Когда-то можно было хоть в 20 потоков. Сейчас такой фокус не пройдет.
Если очень надо, найди две софтины: mega mailer и advanced direct remailer. В mm оформишь письмо, заголовки и скинешь на adr. С adr через соксы разошлешь. Там поставишь задержку лучше в секунд 10. Пока не спалишься штук 500 может быть и отошлёт.