шёл по лесу. ,,по лесу,, -это наречие?

Нет, ПО ЛЕСУ – это не наречие. Это существительное ЛЕС в дательном падеже с предлогом ПО. Отвечает это существительное на падежные вопрос ПО (КОМУ) ЧЕМУ? Это то, что касается морфологии. А вот в предложении это ПО ЛЕСУ является обстоятельством места (это уже синтаксис), например:
● Бежал заяц по лесу. (Ю. Макаров) – Бежал где? по лесу.
● Сейчас немногие ходят по лесу, жмутся ближе к деревням. (Ю. Коваль) – Ходят где? по лесу.
● Шёл мишка по лесу. – Шёл где? по лесу.