Как решить этот предел?

Question

Подскажите, как решить предел без применения правила Лопиталя: 
lim(x^20-2*x+1)/(x^12-2*x+1) 
(при х, стремящемся к 1) 
(ответ 9/5, но интересно именно само решение)

Галина Тихонова · Accepted Answer

так как 1 является корнем и числителя и знаменателя, то и числитель и знаменатель делится без остатка на (x-1), делим (столбиком или еще как) , сокращаем на (x-1), подставляем, если снова получаем неопределенность типа 0/0, то процесс повторяем, как только перестало быть неопределенностью, подставляем предельное значение и получаем ответ

Veronika Gagarina · Answer

Видно, что и числитель, и знаменатель нацело делятся на (х-1)
нам надо либо поделить столбиком и числитель, и знаменатель на (х-1), либо, что попроще, взять новую переменную, t=x-1 и от полученного выражения брать предел по t к нулю. Сокращать будет проще, всего лишь на t. Возвести в степень (t+1)^20 и 12 можно с помощью бинарного разложения. Даже считать не надо всё это громоздкое разложение, достаточно вот чего
, что можно получить из формулы применительно для a=t+1 и b =1, n=20 и 12 соответственно для числителя и знаменателя

, что можно получить из формулы

применительно для a=t+1 и b =1, n=20 и 12 соответственно для числителя и знаменателя